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神州7号轨道仿真 摘要：该文针对神州7号飞船，分别就二体轨道（只考虑地心引力作用）和大气阻力扰动下的轨道给出了数学模型，并分别进行了计算机仿真。

通过对计算结果的分析和对比得到了大气阻力对“神七”轨道的影响，还讨论了“神七”在不同面质比假设下的轨道衰减。仿真结果显示，飞船面质比的明显增大会使其轨道明显改变。

关键词：计算机仿真；神7轨道；欧拉算法；simulink仿真；大气阻力 1 引言 神州7号飞船在绕地运行过程中受地球中心引力、大气阻力及日月引力等摄动（一个天体绕另一个天体沿二体轨道运行时，因受到其它天体的吸引或其它因素的影响，天体的运动会偏离原来的轨道，这种偏离的现象称为摄动）力的影响。由于“神七”的轨道较低（约为340km），大气阻力是主要摄动力，故在给出摄动模型时只考虑大气阻力摄动而忽略了其它摄动力的影响，根据“神七”进入正常轨道后的轨道参数，分别就二体轨道（无阻力）情况和有阻摄动情况进行计算机仿真，再把两种情况的结果进行比较，便可得到大气阻力对“神七”轨道的影响。

2 轨道模型 2.1 地心惯性坐标系 地心惯性坐标系是卫星定轨问题中最基本的坐标系。定义地心惯性坐标系为，其坐标原点为地球中心，轴指向春分点， 轴指向北极，为右手系。

2.2 卫星轨道六要素 在六个独立的轨道要素中，、决定了轨道椭圆的形状和大小；决定了卫星轨道平面的空间位置和轨道椭圆长半轴的方向；决定了时刻卫星在椭圆轨道上的位置（参看图1）。一般的，总是变量的函数，而其它五个轨道要素对开普勒轨道来讲它们是常数，对有摄轨道来讲轨道参数都是的函数。

这里 ： 椭圆长半轴； ： 椭圆偏心率； ： 轨道倾角，即轨道平面与地球赤道平面的夹角； ：星轨道升交点N的赤经； ：地点幅角，即卫星近地点D到升交点N的角距； ：近点角，即卫星相对于椭圆长轴的极角（对应近地点，对应远地点）； ：偏近点角，与的关系为 2.3 二体轨道问题 假定卫星在地球中心引力场运动，忽略各种摄动力因素影响的卫星轨道称为二体轨道。此时，卫星的运动轨迹是一个不变的椭圆轨道，分析这种轨道的特性称为二体问题。

其相应的运动方程为 （1） 称之为开普勒方程，其中（）为地心引力常数。为仿真计算的需要，下面把各摄动力在地心惯性坐标系下用力的分量形式表示出来，并用下标分别表示力在坐标系中的三个坐标方向上的三个分量。

由（1）可以直接得到的分量表示 （2） 2.4 理想模型 假设“神七”只受地心引力的作用，地球为圆形球体，卫星在地心惯性坐标系中的位置和速度分别为[3] (3) (4) (5) (6) 其中km,,,,[4]，取，由上面四个公式可得神州7号飞船在地心惯性坐标系中假设初始点的位置和速度（参看附录1）分别为： （-1574.0,4710.9,-4509.4） (7) 和 （-7.4122,-2.0825,0.4117） (8) 记和分别为“神七”的位置矢量和速度矢量，由天体力学理论我们知道，“神七”运动方程为 （9）由于（9）式等价于 记，则上面6个方程构成的方程组等价于 （10） 取采样周期（采样时间间隔）为，把（10）式离散化得 即 （11） 其中为时刻位置速度向量。利用（11）式和初始时刻的位置和速度就可以求出以后各时刻的位置和速度，从而确定“神七”轨道。

2.5 大气阻力下的实际模型 假设“神七”除受地心引力的作用外还受到大气阻力影响，地球为圆形球体。大气阻力、地心引力和运动方程为 （12） (13) (14) 其中，，设“神七”的面质比，为大气密度。

为地球中心引力，为大气阻力，密度参看表1。 由表中数据，用e指数函数拟和的大气密度函数式（参看附录1）为 （15） 把（15）式代入处的大气阻力计算公式中得 （16） 取采样周期（采样时间间隔）为，仿式（10）和（11）式把（12）式离散化得 （17）即 （18）其中为时刻位置速度向量。

利用（18）式和初始时刻的位置和速度就可以求出以后各时刻的位置和速度，从而确定“神七”轨道。 3 计算机仿真 3.1 理想情况模型 由（7）、（8）、（9）、（11）式，利用matlab[6]程序（参看附录1）对模型进行计算得出理想状况下神7二体轨道和轨道地心距（参看图2和图3）。

理想情况下，假设神州7号飞船只受地心引力作用，根据物理学知识可得其运行轨道为一不变的椭圆，地球中心位于这个椭圆的一个焦点上，其运行线速度在近地点最大，在远地点最小。 3.2 大气摄动轨道模型 3.2.1欧拉算法及其仿真 由（12）、（13）、（16）和（18）式利用matlab程序（参看附录1）对模型用欧拉方法进行计算得出实际状况下“神七”二体轨道图形和轨道高度参看图4和图5。

由图5看出，欧拉算法结果是轨道越来越高，这是方法误差太大（）[8]造成的。下面寻找到一种精度较高的算法。

3.2.2 simulink仿真 现在采用高精度的simulink方法（方法误差为），simulink模型由图6给出， 运行后得到的地心距变化参看图7。 在实际（即考虑阻力）情况下，由于飞船除受地心引力外还受到大气阻力且二者合力大于飞船运行过程中受到的离心力，导致其轨道高度逐渐减小，这就使得其轨道是一族逐渐减小的椭圆，并且地心位于这一族椭圆的一个焦点上。

而随着轨道高度的降低大气。

高中数学建模小论文

高中数学建模的三种教学形式作者（来源）：左双奇* 位育中学 发布时间：2007-09-06高中数学建模的三种教学形式左双奇* （位育中学）问题的提出数学建模的教学实践在我国己有十多年的探索了，新的国家课程标准和新的教材都将数学建模内容列入学生必修内容。

在探究性学习的探索中，一些学校选择了数学建模做为突破口；在进行数学课题学习的教学实践中，数学建模是其中的一种重要形式。近年来，我校为配合上海市中学生数学知识应用竞赛，对数学建模教学进行了积极的探索，针对人为地将数学建模教学与曰常课堂教学相割裂、教师和学生对数学建模这种具有多样性、新奇性的学习形式存在的畏难心理等困难，我校在数学建模的教学中主要采用了以下循序渐近的三个不同层次的教学形式来克服以上的困难。

研究方法和过程一、常规课堂教学中的数学建模教学广义地说，一切数学概念、数学理论体系、数学公式、方程式和算法系统都可以称为数学模形。如“椭圆的方程及图象”就是一个数学模型，“用‘二分法’求方程的一个近似解”也是一个数学模型。

针对学生在数学建模中不会对实际问题进行抽象、简化、假设变量和参数，形成明确的数学框架的困难，我们在常规的数学课堂教学中，有意识地选择合适的教学内容，模仿实际问题中建立数学模型的过程，来处理教材中常规的学习内容，从而为学生由实际问题来建立模型奠定基础。譬如，对于二面角内容的教学，在学生原有生活经历中，有水坝面和水平面成适当的角的印象；有半开着的门与墙面形成角的印象，那么我们在让学生形成二面角的概念时，应当从学生已有的这些认识中，舍弃具体的水坝、门等对象，而抽象出“从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角”，在这里，半平面是相对于水坝拦水面、门等的具体对象而进行合理假设得到的理想化对象，而在进一步研究如何度量一个二面角的大小时，我们是让学生提出各种方案，然后通过讨论、比较各方案所定义的几何量对给定的二面角是不是不变量，同时又简洁表达了二面角中两个半平面闭合程度的大小。

以上关于二面角的概念及其度量方法的教学过程，实际上就是建立数学模型并研究模型的过程。这个教学案例说明，在常规的曰常课堂教学中，完全可以选定适当内容，创设出数学建模的教学情景来处理教学内容，从而为学生真正面对实际问题来建立模型、研究模型创造条件。

二、教师提供问题的数学建模教学教师提供问题的数学建模，基本上同目前开展的大学生、中学生数学建模竞赛中需要完成的建模任务相同。这种形式的数学建模学生不需要自己选定实际问题研究，而是由教师选定适合于学生水平的实际问题呈现给学生，在教师的启发、引导下，学生小组通过讨论，自己完成模型选择和建立、计算、验证等过程，最后用小论文的形式呈现自己的研究成果，这种形式的数学建模学生已真正接触到实际问题，并经历建模的全过程。

经过了曰常课堂教学中的数学建模教学，学生对什么是数学建模已有了一定的认识，并已经历了由具体问题抽象出明确数学框架的锻练，因此，我们在这种形式的数学建模教学中，主要是加强以下几个方面的教学。1.提供的实际问题必须难易适度，应当适合于学生的认知水平。

对于较难的问题，我们往往给出必要提示，如启发学生通过提出合符常理的假设来将复杂的问题化为可以建模的问题；通过提示学生设定相关变量来达到使模型容易建立等。教师可从选定的实际问题、模型假设、变量设定等方面来控制难度，其中模型假设和变量设定是直接影响到模型建立的关键因素，对此关键点教师没计适当的教学形式，是“教师给定问题型”建模教学的关键。

2.在“教师给定问题型”的数学建模的实践中，学生将经历建模的全过程，其中在模型的求解这一环节，往往需要借助计算机选择一个合适的数学软件平合，通过数学实验来求解模型。我校近年来，对这一环节的教学比较重视，每年都对将参加上海市中学生数学建模夏令营的学生团队进行数学软件Matlab的使用辅导，通过使学生精通一种软件的使用，再介绍学生自己钻研其它几种数学软件的使用，从而为学生正确求出模型的解，铺平了道路。

3.在近五年对学生的辅导过程中，我们感到以下一些问题可用来训练学生的数学建模能力，它们是：（1）路桥问题，（2）限定区域的驾驶问题，（3）交通信号灯管理问题，（4）球的内接多面体问题，（5）螺旋线问题，（6）最短路问题，（7）最小连接问题，（8）选址问题，（9）面包进货问题等。4.在“教师给定问题型”的数学建模实践中，学生的研究结果，必须会用论文进行表达，会表达自己的研究思路及结果，是一个学生综合素质的体现。

由于数学建模论文的撰写有一定的格式要求，当然这种格式要求是为了更好地使作者展现自己的研究结果，也是对论文质量的保证。所以，我们在教学中对学生论文撰写的格式进行了专门的辅导，一般地说，中学生的数学建模论文格式，应当具有以下的形式。

（一） 论文摘要：做什么？用什么方法？借助什么工具？得出什么结论？为什么用这个工具？所得结果还有何推广应用。