求助

圆的有关性质

一，〖知识点〗圆、圆的对称性、点和圆的位置关系、不在同一直线上的三点确定一个圆、三角形的外接圆、垂径定理逆定理、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系、圆周角定理、圆内接四边形的性质

〖大纲要求〗

1. 正确理解和应用圆的点集定义，掌握点和圆的位置关系；

2. 熟练地掌握确定一个圆的条件，即圆心、半径；直径；不在同一直线上三点。一个

圆的圆心只确定圆的位置，而半径也只能确定圆的大小，两个条件确定一条直线，三个条件确定一个圆，过三角形的三个顶点的圆存在并且唯一；

3. 熟练地掌握和灵活应用圆的有关性质：同（等）圆中半径相等、直径相等直径是半

径的2倍；直径是最大的弦；圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线都是对称轴；圆是中心对称图形，圆心是对称中心；圆具有旋转不变性；垂径定理及其推论；圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距之间的关系；

4. 掌握和圆有关的角：圆心角、圆周角的定义及其度量；圆心角等于同（等）弧上的

圆周角的2倍；同（等）弧上的圆周角相等；直径（半圆）上的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；

5. 掌握圆内接四边形的性质定理：它沟通了圆内外图形的关系，并能应用它解决有关

问题；

6. 注意：（1）垂径定理及其推论是指：一条弦①在“过圆心”②“垂直于另一条弦”

③“平分这另一条弦”④“平分这另一条弦所对的劣弧”⑤“ 平分这另一条弦所对的优弧”的五个条件中任意具有两个条件，则必具有另外三个结论（当①③为条件时要对另一条弦增加它不是直径的限制），条理性的记忆，不但简化了对它实际代表的10条定理的记忆且便于解题时的灵活应用，垂径定理提供了证明线段相等、角相等、垂直关系等的重要依据；（2）有弦可作弦心距组成垂径定理图形；见到直径要想到它所对的圆周角是直角，想垂径定理；想到过它的端点若有切线，则与它垂直，反之，若有垂线则是切线，想到它被圆心所平分；（3）见到四个点在圆上想到有4组相等的同弧所对的圆周角，要想到应用圆内接四边形的性质。

〖考查重点与常见题型〗

1. 判断基本概念、基本定理等的正误，在中考题中常以选择题、填空题的形式考查学

生对基本概念和基本定理的正确理解，如：下列语句中，正确的有（ ）

(A)相等的圆心角所对的弧相等 （B）平分弦的直径垂直于弦

(C)长度相等的两条弧是等弧 （D）弦过圆心的每一条直线都是圆的对称轴

2. 论证线段相等、三角形相似、角相等、弧相等及线段的倍分等。此种结论的证明重

点考查了全等三角形和相似三角形判定，垂径定理及其推论、圆周角、圆心角的性质及切线的性质，弦切角等有关圆的基础知识，常以解答题形式出现。

二，〖知识点〗

相交弦定理、切割线定理及其推论

〖大纲要求〗

1. 正误相交弦定理、切割线定理及其推论；

2. 了解圆幂定理的内在联系；

3. 熟练地应用定理解决有关问题；

4. 注意（1）相交弦定理、切割线定理及其推论统称为圆幂定理，圆幂定理是圆和相似

三角形结合的产物。这几个定理可统一记忆成一个定理：过圆内或圆外一点作圆的两条割线，则这两条割线被圆截出的两弦被定点分（内分或外分）成两线段长的积相等（至于切线可看作是两条交点重合的割线）。使用时注意每条线段的两个端点一个是公共点，另一个是与圆的交点；

(2)见圆中有两条相交想到相交弦定理；见到切线与一条割线相交则想到切割线定理；若有两条切线相交则想到切线长定理，并熟悉此时图形中存在着一个以交点和圆心连线为对称轴的对称图形。

〖考查重点与常见题型〗

证明等积式、等比式及混合等式等。此种结论的证明重点考查了相似三角形，切割线定

理及其推论，相交弦定理及圆的一些知识。常见题型以中档解答题为主，也有一些出现在选择题或填空题中。

有关圆的知识点总结

1、圆是定点的距离等于定长的点的集合

到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆

2、定理 不在同一直线上的三点确定一个圆。

3、垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧

推论 ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等

4、定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等

5、推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等

6、定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等

推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径

推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形

7、定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角

8、①直线L和⊙O相交 d②直线L和⊙O相切 d=r

③直线L和⊙O相离 d>r

9、切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径

推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

10、切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

圆的外切四边形的两组对边的和相等

11、①两圆外离 d>R+r ②两圆外切 d=R+r

③两圆相交 R-rr)

④两圆内切 d=R-r(R>r) ⑤两圆内含dr)

12、定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦

13、定理 把圆分成n(n≥3):

⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形

⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形

14、定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆

144弧长计算公式：L=nπR/180

145扇形面积公式：S扇形=n兀R^2/360=LR/2

圆的小结或知识网络图

圆的知识网络图画法 圆是一个什么样的平面图形？---什么叫圆的半径？----什么叫圆的直径？直径与半径有什么关系？----什么叫圆的周长？圆周长与圆的直径有什么关系？也就是怎么计算圆的周长？----什么叫圆的面积？圆的面积怎么计算？圆的面积与圆的周长有什么联系与区别？---圆环的面积怎么计算？---圆与其他平面图形组成的组合图形怎么计算？---扇形的面积怎么计算？周长呢？要注意什么？这就是小学数学中有关圆的所有知识体系了，你可以将上面的知识点，画成网络图.在这里我画不了.其实，我上面写的也是一种网络，各个知识点根据其各自的联系，串成一串，便于复习整理就很不错的.。

求助

圆的有关性质 一，〖知识点〗圆、圆的对称性、点和圆的位置关系、不在同一直线上的三点确定一个圆、三角形的外接圆、垂径定理逆定理、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系、圆周角定理、圆内接四边形的性质 〖大纲要求〗 1. 正确理解和应用圆的点集定义，掌握点和圆的位置关系； 2. 熟练地掌握确定一个圆的条件，即圆心、半径；直径；不在同一直线上三点。

一个 圆的圆心只确定圆的位置，而半径也只能确定圆的大小，两个条件确定一条直线，三个条件确定一个圆，过三角形的三个顶点的圆存在并且唯一； 3. 熟练地掌握和灵活应用圆的有关性质：同（等）圆中半径相等、直径相等直径是半 径的2倍；直径是最大的弦；圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线都是对称轴；圆是中心对称图形，圆心是对称中心；圆具有旋转不变性；垂径定理及其推论；圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距之间的关系； 4. 掌握和圆有关的角：圆心角、圆周角的定义及其度量；圆心角等于同（等）弧上的 圆周角的2倍；同（等）弧上的圆周角相等；直径（半圆）上的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径； 5. 掌握圆内接四边形的性质定理：它沟通了圆内外图形的关系，并能应用它解决有关 问题； 6. 注意：（1）垂径定理及其推论是指：一条弦①在“过圆心”②“垂直于另一条弦” ③“平分这另一条弦”④“平分这另一条弦所对的劣弧”⑤“ 平分这另一条弦所对的优弧”的五个条件中任意具有两个条件，则必具有另外三个结论（当①③为条件时要对另一条弦增加它不是直径的限制），条理性的记忆，不但简化了对它实际代表的10条定理的记忆且便于解题时的灵活应用，垂径定理提供了证明线段相等、角相等、垂直关系等的重要依据；（2）有弦可作弦心距组成垂径定理图形；见到直径要想到它所对的圆周角是直角，想垂径定理；想到过它的端点若有切线，则与它垂直，反之，若有垂线则是切线，想到它被圆心所平分；（3）见到四个点在圆上想到有4组相等的同弧所对的圆周角，要想到应用圆内接四边形的性质。 〖考查重点与常见题型〗 1. 判断基本概念、基本定理等的正误，在中考题中常以选择题、填空题的形式考查学 生对基本概念和基本定理的正确理解，如：下列语句中，正确的有（ ） （A）相等的圆心角所对的弧相等 （B）平分弦的直径垂直于弦 （C）长度相等的两条弧是等弧 （D）弦过圆心的每一条直线都是圆的对称轴 2. 论证线段相等、三角形相似、角相等、弧相等及线段的倍分等。

此种结论的证明重 点考查了全等三角形和相似三角形判定，垂径定理及其推论、圆周角、圆心角的性质及切线的性质，弦切角等有关圆的基础知识，常以解答题形式出现。 二，〖知识点〗 相交弦定理、切割线定理及其推论 〖大纲要求〗 1. 正误相交弦定理、切割线定理及其推论； 2. 了解圆幂定理的内在联系； 3. 熟练地应用定理解决有关问题； 4. 注意（1）相交弦定理、切割线定理及其推论统称为圆幂定理，圆幂定理是圆和相似 三角形结合的产物。

这几个定理可统一记忆成一个定理：过圆内或圆外一点作圆的两条割线，则这两条割线被圆截出的两弦被定点分（内分或外分）成两线段长的积相等（至于切线可看作是两条交点重合的割线）。使用时注意每条线段的两个端点一个是公共点，另一个是与圆的交点； （2）见圆中有两条相交想到相交弦定理；见到切线与一条割线相交则想到切割线定理；若有两条切线相交则想到切线长定理，并熟悉此时图形中存在着一个以交点和圆心连线为对称轴的对称图形。

〖考查重点与常见题型〗 证明等积式、等比式及混合等式等。此种结论的证明重点考查了相似三角形，切割线定 理及其推论，相交弦定理及圆的一些知识。

常见题型以中档解答题为主，也有一些出现在选择题或填空题中。

圆的知识点总结

1、圆是定点的距离等于定长的点的集合2、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合3、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合4、同圆或等圆的半径相等5、到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆6、和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线7、到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线8、到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线9、定理不在同一直线上的三点确定一个圆。

10、垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧。

圆的知识点总结

1、圆是定点的距离等于定长的点的集合

2、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合

3、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合

4、同圆或等圆的半径相等

5、到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆

6、和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线

7、到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线

8、到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线

9、定理不在同一直线上的三点确定一个圆。

10、垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧

【总结圆的面积有关知识点】

圆的特征：圆是由一条曲线构成的封闭图形， 圆上任意一点到圆心的距离相等。

圆心和半径的作用：圆心决定圆的位置，半径 决定圆的大小 。 圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称 轴。

圆有无数条对称轴 。 同一圆中直径是半径的2倍 圆的周长指围成圆的曲线的长。

长就大，直径小的圆周长就小 圆的周长除以直径的商是一个固定的数，我们 把它叫做圆周率，用π表示，计算时通常取3.14 圆的周长：C=2πr或C=πd 求半径：r=C/2π 求直径：d=C/π 圆的面积意义：圆形物体，图形所占平面大小 或圆形物体表面大小是圆的面积 。 面积计算公式：π*r的平方 圆环面积计算方法：S=πR的平方-πr的平方或 S=π（R的平方-r的平方） （R是大圆半径，r是小圆半径）。

初三圆的总结

4、弓形面积1) S弓形=S扇形-SΔOAB 2) S弓形=S扇形+SΔOAB 二、圆锥的侧面积和全面积1 把矩形ABCD绕直线AB旋转一周得到的图形叫做圆柱.旋转轴直线AB叫做它的轴. 2 在轴AB上的矩形的边AB的长度叫做它的高.平行于轴的边DC旋转而成的曲面叫做它的侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做圆柱的母线. 3 垂直于轴的边AD,BC旋转而成的圆面叫做它的底面 4、圆锥是由一个底面和一个侧面围成的，我们把圆锥 底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥 的母线.连结顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高. 沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面展开，得到一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，而扇形的半径等于圆锥的母线的长. 圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长、半径为圆锥的一条母线的长的扇形面积，而圆锥的全面积就是它的侧面积与它的底面积的和. 5.设底面半径为r，母线长为l，则 S侧= l·2πr=πrl S全=πrl+πr 数量关系：外离：d>R+r？四条公切线 外切：d=R+r？三条公切线 相交：R-r内切：d=R-r？一条公切线 内含：d6、两圆相交的性质定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦. 7、公切线的性质 （1）如果两圆有两条外公切线，那么这两条外公切线长相等；如果两圆有两条内公切线，那么这两条内公切线长相等. （2）如果两圆有两条外（内）公切线，并且相交，那么交点一定在两圆的连心线上，并且连心线平分这两条公切线的夹角. 8、相交弦定理及其推论定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的 积相等（PA·PB=PC·PD）. 推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直 径所成的两条线段的比例中项（PC2=PD2=PA·PB）. 9、切割线定理及推论定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长 是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例 中项（PA2=PB·PC或PA2=PD·PE）. 推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到两条割 线与圆的交点的两条线段长的积相等 （PB·PC=PD·PE）。

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初三圆的总结

4、弓形面积1) S弓形=S扇形-SΔOAB 2) S弓形=S扇形+SΔOAB 二、圆锥的侧面积和全面积1 把矩形ABCD绕直线AB旋转一周得到的图形叫做圆柱.旋转轴直线AB叫做它的轴. 2 在轴AB上的矩形的边AB的长度叫做它的高.平行于轴的边DC旋转而成的曲面叫做它的侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做圆柱的母线. 3 垂直于轴的边AD,BC旋转而成的圆面叫做它的底面 4、圆锥是由一个底面和一个侧面围成的，我们把圆锥 底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥 的母线.连结顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高. 沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面展开，得到一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，而扇形的半径等于圆锥的母线的长. 圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长、半径为圆锥的一条母线的长的扇形面积，而圆锥的全面积就是它的侧面积与它的底面积的和. 5.设底面半径为r，母线长为l，则 S侧= l·2πr=πrl S全=πrl+πr 数量关系：外离：d>R+r四条公切线 外切：d=R+r三条公切线 相交：R-r。